Ahli Teori Dawai Secara Tidak Sengaja Menemukan Formula Baru untuk Bilangan Pi

Dua fisikawan menemukan banyak persamaan baru untuk bilangan pi ketika mencoba mengembangkan teori pemersatu gaya fundamental.\xd

Oleh Slamet Samsoerizal

Angka pi (π) muncul di tempat yang paling tidak terduga. Bilangan ini dapat ditemukan dalam lingkaran, tentu saja dalam pendulum, mata air, dan tikungan sungai. Angka yang digunakan sehari-hari ini terkait dengan misteri transendental.

Bilangan ini mengilhami teka-teki pemikiran Shakespeare, tantangan membuat kue, dan bahkan sebuah lagu orisinal. Angka pi terus memberikan kejutan-kebanyakan pada Januari 2024, ketika fisikawan Arnab Priya Saha dan Aninda Sinha dari Indian Institute of Science mempresentasikan rumus yang sama sekali baru untuk menghitungnya, yang kemudian mereka publikasikan di Physical Review Letters.

Saha dan Sinha bukanlah ahli Matematika. Mereka bahkan tidak mencari persamaan pi yang baru. Sebaliknya, kedua ahli teori dawai ini sedang menyusun teori pemersatu gaya-gaya fundamental, teori yang dapat menyatukan elektromagnetisme, gravitasi, dan gaya nuklir yang kuat dan lemah.

Dalam teori dawai, blok bangunan dasar alam semesta bukanlah partikel, seperti elektron atau foton, melainkan benang-benang kecil yang bergetar seperti senar gitar dan dengan demikian menyebabkan semua fenomena yang terlihat. Dalam penelitiannya, Saha dan Sinha menyelidiki bagaimana dawai-dawai ini dapat berinteraksi satu sama lain-dan secara tidak sengaja menemukan rumus-rumus baru yang terkait dengan besaran-besaran matematika yang penting.

Selama ribuan tahun, manusia mencoba menentukan nilai yang tepat dari pi. Hal ini tidak mengherankan, mengingat kegunaan menghitung keliling atau luas lingkaran, yang dimungkinkan oleh pi. Bahkan para ahli kuno mengembangkan pendekatan geometris untuk menghitung nilai ini.

Salah satu contoh terkenal adalah Archimedes, yang memperkirakan pi dengan bantuan poligon: dengan menggambar poligon bersisi-n di dalam dan satu di luar lingkaran dan menghitung keliling masing-masing, ia dapat mempersempit nilai pi.

Para guru sering mempresentasikan metode ini di sekolah. Namun, meskipun Anda tidak mengingatnya, Anda mungkin dapat membayangkan bahwa prosesnya cukup rumit. Archimedes sampai membandingkan keliling poligon dengan 96 simpul untuk membuktikan bahwa pi berada di antara 3,1408 dan 3,1429. Oleh karena itu, pendekatan ini tidak terlalu praktis untuk menghitung pi dengan tepat.

Pada abad ke-15, para ahli menemukan deret tak hingga sebagai cara baru untuk mengekspresikan pi. Dengan menjumlahkan angka-angkanya satu per satu, nilai pi dapat diperoleh. Sebagai contoh, cendekiawan India, Madhava, yang hidup dari tahun 1350 hingga 1425, menemukan bahwa pi sama dengan 4 dikalikan dengan deret yang dimulai dengan 1, lalu secara bergantian mengurangi atau menambahkan pecahan di mana 1 ditempatkan di atas bilangan ganjil yang lebih tinggi secara berurutan (jadi 1/3, 1/5, dan seterusnya).

Salah satu cara untuk mengekspresikannya adalah: rumus ini memungkinkan untuk menentukan pi setepat mungkin dengan cara yang sangat sederhana. Anda tidak perlu menjadi ahli matematika untuk mengerjakan persamaan ini. Tetapi Anda perlu kesabaran. Butuh waktu lama untuk mendapatkan hasil yang akurat. Bahkan, jika Anda mengevaluasi 100 jumlah, Anda masih akan meleset jauh.

Seperti yang ditemukan oleh Saha dan Sinha lebih dari 600 tahun kemudian, rumus Madhava hanyalah sebuah kasus khusus dari sebuah persamaan yang lebih umum untuk menghitung pi. Dalam karya mereka, para ahli teori dawai menemukan sebuah rumus.

Melansir dari laman scientificamerican.com, rumus ini menghasilkan jumlah yang sangat panjang. Hal yang mencolok adalah bahwa rumus ini bergantung pada faktor λ, sebuah parameter yang dapat dipilih secara bebas. Berapapun nilai λ yang dimiliki, rumus tersebut akan selalu menghasilkan pi.

Oleh karena ada banyak sekali angka yang bisa berhubungan dengan λ, Saha dan Sinha menemukan rumus pi yang tak terhingga banyaknya. Jika λ sangat besar, persamaannya sesuai dengan rumus Madhava. Artinya, karena λ hanya pernah muncul di penyebut pecahan, maka pecahan yang sesuai untuk λ = ∞ menjadi nol (karena pecahan dengan penyebut yang besar akan menjadi sangat kecil). Untuk λ = ∞.

Bagian pertama dari persamaan tersebut mirip dengan rumus Madhava.  Anda menjumlahkan pecahan dengan penyebut ganjil. Namun, bagian terakhir dari penjumlahan (-n)n - 1 kurang familiar. Subskrip n - 1 adalah apa yang disebut simbol Pochhammer.

Ketika Saha dan Sinha melihat lebih dekat pada persamaan yang dihasilkan, mereka menyadari bahwa mereka dapat mengekspresikan angka pi dengan cara ini, serta fungsi zeta, yang merupakan inti dari dugaan Riemann, salah satu misteri terbesar yang belum terpecahkan dalam Matematika. ***